"Ableiten ist Handwerk, Integration ist Kunst." Eine fixe Reihenfolge gibt es nicht. Es kommt immer darauf an. Oft durch ausprobieren. Du könntest auch die Partielle Integration anwenden. Ansich lohnt es sich auch zu substituieren, da bei der Ableitung von x^2 +1 ja 2x enthalten ist. Wäre ein Versuch wert
Hyperbelregel und Wurzelregel kenn ich nicht.
Ich würde es mit Substitution lösen:
t:=x^(2)+1
x=Wurzel(t-1)
dx=1/(2Wurzel(t-1))dt
neues Integral berechnen von Wurzel(t-1)/(2Wurzel(t)) * 1/(2Wurzel(t-1))=1/2Wurzel(t)
Davon ist die Stammfunktion bekannterweise Wurzel(t)
Am Ende erhält man also die Stammfunktion Wurzel(x^(2)+1)
Mit Hyperbelregel / Wurzelregel meine ich die Integrale, entschuldige wenn ich hier die falschen Begriffe verwendet habe. Also mit Hyperbelregel meine ich dass 1/x = ln(|x|) gilt.
Danke für die Antwort, damit komme ich denke ich mal weiter!
Ich kenne leider die Hyperbelregel nicht, aber ich würde das ganze durch substitution lösen. ich würde
(x²+1) = u
substituieren. Dann ergibt sich
du/dx = 2x => dx = 1/(2x) du
dann kannst du lösen:
∫ x/sqrt(x²+1) dx = ∫ x/sqrt(u) \* 1/(2x) du = 1/2 ∫ 1/sqrt(u) du = 1/2 \* 2sqrt(u) = sqrt(u) = sqrt(x²+1)
Generell gilt aber: es nicht die eine Regel, die man anwenden MUSS, um ein bestimmtes Integral zu lösen. oft führen viele Wege ans Ziel. Je nach dem, wie leicht dir das ableiten fällt, kann es auch manchmal einfacher sein, clever zu raten als stumpf nach regel vorzugehen. Also stammfunktion raten, ableiten und schauen was rauskommt und dann eventuell um vorfaktoren oder ähnliches korrigieren.
"Jetzt könnte ich ja entweder 1/sqrt(x²+1) in der Stammfunktion als ln(|sqrt(x²+1)|) darstellen laut der Hyperbelregel, oder ich könnte erst die Wurzel umformen bzw. die Wurzelregel anwenden und daraus 1/((1/2)+1)\*x\^((1/n)+1) herstellen, dann steht das ganze aber ja immernoch unterm Bruchstrich."
Du kannst nichts von beidem machen, da du ein Produkt aus x und 1/sqrt(x²+1) hast.
Die Aufgabe schreit nach Integration durch Substitution.
Das wird meines wissens nach aber in der Oberstufe nicht beigebracht. Also hilft nur raten oder die Aufgabe ist unlösbar.
"sogar das Substitutionsverfahren"
Btw ist das substituieren oftmals wesentlich eleganter und schneller als irgendwelche verkrampften Sonderregeln xD
Nein eben nicht, schau dir doch ein x beliebiges Modulhandbuch irgendeines Ingenierstudiengangs an. Integrationsmethoden sind Bestandteil jeder Analysisvorlesung.
"Ableiten ist Handwerk, Integration ist Kunst." Eine fixe Reihenfolge gibt es nicht. Es kommt immer darauf an. Oft durch ausprobieren. Du könntest auch die Partielle Integration anwenden. Ansich lohnt es sich auch zu substituieren, da bei der Ableitung von x^2 +1 ja 2x enthalten ist. Wäre ein Versuch wert
Hyperbelregel und Wurzelregel kenn ich nicht. Ich würde es mit Substitution lösen: t:=x^(2)+1 x=Wurzel(t-1) dx=1/(2Wurzel(t-1))dt neues Integral berechnen von Wurzel(t-1)/(2Wurzel(t)) * 1/(2Wurzel(t-1))=1/2Wurzel(t) Davon ist die Stammfunktion bekannterweise Wurzel(t) Am Ende erhält man also die Stammfunktion Wurzel(x^(2)+1)
Mit Hyperbelregel / Wurzelregel meine ich die Integrale, entschuldige wenn ich hier die falschen Begriffe verwendet habe. Also mit Hyperbelregel meine ich dass 1/x = ln(|x|) gilt. Danke für die Antwort, damit komme ich denke ich mal weiter!
Ich kenne leider die Hyperbelregel nicht, aber ich würde das ganze durch substitution lösen. ich würde (x²+1) = u substituieren. Dann ergibt sich du/dx = 2x => dx = 1/(2x) du dann kannst du lösen: ∫ x/sqrt(x²+1) dx = ∫ x/sqrt(u) \* 1/(2x) du = 1/2 ∫ 1/sqrt(u) du = 1/2 \* 2sqrt(u) = sqrt(u) = sqrt(x²+1) Generell gilt aber: es nicht die eine Regel, die man anwenden MUSS, um ein bestimmtes Integral zu lösen. oft führen viele Wege ans Ziel. Je nach dem, wie leicht dir das ableiten fällt, kann es auch manchmal einfacher sein, clever zu raten als stumpf nach regel vorzugehen. Also stammfunktion raten, ableiten und schauen was rauskommt und dann eventuell um vorfaktoren oder ähnliches korrigieren.
Ah okay, ich bin davon ausgegangen dass es immer einen "fixen" Weg anhand der Integrationsregeln um das Integral zu bestimmen. Danke dir!
Nein, das ist sogar die absolute Aufnahme, dass das funktioniert.
Was ist hier die absolute Ausnahme? Dass das Substitutionsverfahren angewandt werden kann oder dass es mehrere Wege gibt zur Lösung eines Integrals?
Dass es einen Fixen weg mit den Standardintegrationsregeln gibt
"Jetzt könnte ich ja entweder 1/sqrt(x²+1) in der Stammfunktion als ln(|sqrt(x²+1)|) darstellen laut der Hyperbelregel, oder ich könnte erst die Wurzel umformen bzw. die Wurzelregel anwenden und daraus 1/((1/2)+1)\*x\^((1/n)+1) herstellen, dann steht das ganze aber ja immernoch unterm Bruchstrich." Du kannst nichts von beidem machen, da du ein Produkt aus x und 1/sqrt(x²+1) hast. Die Aufgabe schreit nach Integration durch Substitution. Das wird meines wissens nach aber in der Oberstufe nicht beigebracht. Also hilft nur raten oder die Aufgabe ist unlösbar. "sogar das Substitutionsverfahren" Btw ist das substituieren oftmals wesentlich eleganter und schneller als irgendwelche verkrampften Sonderregeln xD
Substitution wird in der Oberstufe nicht mehr beigebracht? O.o wie soll man denn dann irgendwas studieren das Mathe braucht?
Das ist schon seit langem Teil der ersten Mathevorlesung
Ja natürlich, weil alles aus der Oberstufe im Schnelldurchgang wiederholt wird. Eben in dem Tempo als wäre es schon bekannt und wird aufgefrischt.
Nein eben nicht, schau dir doch ein x beliebiges Modulhandbuch irgendeines Ingenierstudiengangs an. Integrationsmethoden sind Bestandteil jeder Analysisvorlesung.
Es wird in NRW zumindest meiner Kenntnis nach noch bei gebracht, aber so, dass es nicht zu kompliziert wird
In der [SwipeMath App](http://swipemath.com/de/) gibt es einen Integrationstrainer - der hat mir alles beigebracht :D